命题逻辑

(一) 联言命题

联言命题是断定几种事物情况同时存在的命题，构成联言命题的肢命题称作联言肢。联言命题由至少2个联言肢构成。例如：这次考试，不仅题量大，而且难度高。

联言命题可表示为P且Q，也可写为：P∧Q。此时，P、Q分别代表联言肢。

联言命题常见的联结词一般表示的是并列、递进、转折关系。例如：…并且…；既…又…；一方面…另一方面…；不仅…而且…；虽然…但是…；…和…都…；等等。

(二) 选言命题

选言命题是断定几个可能的事物情况中，至少有一个事物情况存在的命题。构成选言命题的肢命题称做选言肢。选言命题由至少2个选言肢构成。

例如：（1）今天晚上复习数学或逻辑；

         （2）这次旅行，要么去欧洲，要么去东南亚。

1．相容选言命题

断定几个可能的事物情况中，至少有一个事物情况存在并且可以同时存在时，我们称之为相容选言命题。

相容选言命题可表示为P或Q，也可写为P∨Q。此时，P、Q分别代表选言肢。

相容选言命题常见的联结词有：或者…或者…；…或…；可能…可能…，也许…也许…；…和…至少一个；等等。

两个特殊联结词：“至多……”、“除非…否则…”，

2．不相容选言命题

断定几个可能的事物情况中，有且只有一种事物情况存在时，我们称之为不相容选言命题。

不相容选言命题可表示为要么P要么Q，也可写为P ⊻ Q。此时，P、Q分别代表选言肢。

不相容选言命题常见的联结词有：要么…要么…；不是…就是…；等等。

联言、选言命题及推理的三个基本式

(一) 整体与分肢的真假判断式

联言、选言命题均属于复合命题，在判断真假时，首先要需分清已知条件给出的是命题整体的真假，还是分肢的真假。

结合下图，理解联言、选言命题的整体与分肢之间的真假关系：

1．由整体推断分肢时

（1）（P且Q）真 → P真、Q真；

（2）（P或Q）假 → P假、Q假；

2．由分肢推断整体时

（1）P真→（P或…）真；Q真→（Q或…）真；

（2）P假→（P且…）假；Q假→（Q且…）假；

(二) 推理式

1．相容选言推理

（1）若一个分肢为假，可推出另一个分肢为真；

（2）若一个分肢为真，则另一个分肢真假不确定，即可能真也可能假；

2．不相容选言推理

（1）若一个分肢为假，可推出另一个分肢为真；

（2）若一个分肢为真，可推出另一个分肢为假；

(三) 矛盾式

矛盾式的应用，具体表现为某个命题为真时，与之矛盾的命题必假；这个命题为假时，与之矛盾的命题必真。

考试中，在涉及以真求假或以假求真的题目中，往往会用到矛盾式；另外，在出现“并非……”这类描述时，也会用到矛盾式。

1．“P且Q”与“非P 或 非Q”相互矛盾；

并非（P且Q） = 非P 或 非Q；

2．“P或Q” 与“非P 且 非Q” 相互矛盾；

并非（P或Q） = 非P 且 非Q；

3．“要么P要么Q”与“（P且Q）或（非P且非Q）”相互矛盾；

并非（要么P要么Q） = （P且Q）或（非P且非Q）；

假言命题及推理

假言命题的定义

假言命题断定的是某一事物情况是另一件事物情况的条件，也称为条件关系命题。假言命题可分为三种，分别是充分条件假言命题、必要条件假言命题和充要条件假言命题。

1．充分条件

如果有事物S，则有事物P；但是，如果没有事物S，事物P可能有也可能没有；此时，S是P的充分条件。

例如：一个数字如果大于9，则大于7；但是，如果不大于9，是否大于7无法确定。此时，某数字大于9，是该数字大于7的充分条件。

2．必要条件

如果没有事物S，则没有事物P；如果有事物S，事物P可能有也可能没有；此时，S是P的必要条件。

例如：如果毕业不满三年，则不能报考MBA；但是，如果满了3年，是否能报考MBA依然不确定。此时，毕业满三年，是报考MBA的必要条件。

3．充要条件

如果有事物S，则有事物P；同时，如果没有事物S，则没有事物P；此时，S是P的充要条件。

例如：如果三角形三条边均相等，则三个内角均相等；同时，如果三角形三条边不完全相等，则三个内角不完全相等。此时，三角形三条边均相等是三个内角均相等的充要条件。

假言命题的形式化表达

1．以下描述，属于充分条件假言命题，S是P的充分条件，可简写为：S→P

（1）如果S，就（则、那么）P；

（2）只要S，就（则、那么）P；

（3）若S，就（则、那么）P；

（4）要想S，就（则、那么）P；

（5）S，必须P；

（6）S，一定（必然）P ；

（7）有S，不可避免出现P；

（8）S，导致P；

规律：“→”前面放充分条件；

2．以下描述，属于必要条件假言命题，S是P的必要条件，可简写为：P→S

（1）只有S，才P；

（2）除非S，才P；

（3）不S，就不P；

（4）没有S，就没有P；

（5）S是P的基础；

（6）S是P的前提；

（7）S是P必不可少的因素；

（8）P离不开S；

（9）有P，不可缺少S；

规律：“→”后面放必要条件；

3．以下描述，属于充要条件假言命题，S是P的充要条件，可简写为：S→P，P→S

（1）S，当且仅当P；

（2）S是P的唯一因素；

4．关于“除非……否则……”的灵活应用

（1）除非S，否则P = 非S→P = 非P→S = S或P；★

（2）“除非”单独出现，作用等同于“除非…否则…”；

（3）“否则”单独出现，作用等同于“除非…否则…”；

（4）“除非”与其他联结词的搭配，按其他联结词的规律进行形式化表达；

假言命题及推理的六个基本式

(一) 推理式

S→P为真，S真，可推出P真

(二) 逆否式

S→P为真，P假，可推出S假；即S→P = 非P→非S

(三) 转换式

如果S，则P = 只有P，才S = 如果非P，则非S

(四) 连锁式

S→P + P→R 可得到 S→P→R

特殊情况：“→”后的条件若可以否定“→”前的条件，则“→”前的条件必假。★

例如：（1）P→非P，则P为假；（2）S且P →非P，则S且P 为假；

(五) 恒真式

S→P = 非S 或 P

根据相容选言命题的真假判断式，可知当S为假或者P为真时，“S→P”一定为真。

(六) 矛盾式

“S→P”与“S且非P”相互矛盾

1．若“如果S则P”为真，只有其矛盾“S且非P”一定是假的，其余由条件S、P所构成的命题，均可能为真。

例如：“如果下雨就堵车”为真，根据矛盾式，“下雨但不堵车”一定为假。其余情况“下雨了也堵车了”、“没下雨了但堵车了”、“没下雨也没堵车”均可能为真。

2．当S为真，P为假时，可证明“如果S则P”一定为假。

例如：“做题了但成绩不好”为真，可证明“如果做题，则一定取得好成绩”一定为假。

二难推理的三个基本式

(一) 标准式

“或”+“→”

S或P，P→Q，S→R，可推出 Q或R 为真

(二) 简化式

1．前件矛盾：“S → …”+“非S → …”

S→P，非S→Q，可推出 P或Q 为真

2．后件矛盾：“… → S”+“… → 非S”

P→S，Q→非S，可推出 P或Q 为假，进而推出 非P或非Q 为真

(三) 变形式

“或”+“或”

直言命题及推理

直言命题的定义及种类

直言命题，断定了事物是否具有某种性质，由主项、谓项、联项、量项四部分构成。

1．主项，是断定的对象，出现在句子的主语位置；

2．谓项，是断定的性质，出现在句子的宾语位置；

3．联项，断定了具有或不具有该性质，出现在句子的谓语位置；分为肯定（是）和否定（不是）两种形式；

4．量项，主要出现在主项之前，偶尔出现在谓项之前；分为全称（所有、任何、凡是、每个、都）、特称（有的、有些、至少一个、某些）及单称三种形式。

根据不同的量项和联项的组合，直言命题可分为6种，分别是：（S、P分别表示主项和谓项）

直言命题间的对当关系

若两个直言命题主项、谓项均一致，则称它们是具有相同素材的命题。它们之间的真假关系，称为对当关系。对当关系分为矛盾、反对、从属三种。

(一) 利用对当关系，判断真假

1．矛盾关系

A与O、E与I、a与e均为矛盾关系，具有矛盾关系的两个命题一定一真一假；

规律速记：同素材、量项不同（所有/有的）、联项1肯1否，这两个命题一真一假。

2．反对关系（包括上反对和下反对）

（1）上反对关系是指A与E之间的关系，它们不能同时为真，至少有一假。

规律速记：同素材、量项都是“所有”、联项1肯1否，这两个命题至少有一假。

（2）下反对关系是指I与O之间的关系，它们不能同时为假，至少有一真。

规律速记：同素材、量项都是“有的”、联项1肯1否，这两个命题至少有一真。

3．从属关系

A、a、I三个命题之间具有从属关系；E、e、O三个命题之间具有从属关系。

具有从属关系的命题真假判断方法为：上真下必真，下假上必假；上假下不知，下真上不知；

规律速记：同素材、量项不同、联项一致，命题间具有从属关系。

（二）不标准表达的翻译

1．并非所有……；

例如：并非所有鸟都会飞；应翻译为：有的鸟不会飞。

2．并非有的……；

例如：并非有人作弊；应翻译为：所有人都不作弊。

3．不都……；

例如：所有考试不都考英语；应翻译为：有的考试不考英语。

4．没有一个……；

例如：没有一个题目是超纲的；应翻译为：题目都不是超纲的。